Ecuaciones diferenciales

Isaac Newton se daba cuenta de la importancia que tenían las ecuaciones diferenciales para el análisis de los fenómenos de la naturaleza. En sus renombrados Principios matemáticos de la filosofía natural (1687) que engloban mecánica newtoniana, empiezan con la ecuación diferencial del movimiento. Esta ecuación se considera como axioma, mientras que los planteamientos posteriores de la mecánica son, de hecho, teoremas que se derivan de dicho axioma, así como de la ley de gravitación universal que se deduce de los hechos experimentales (leyes de Kepler) y del mencionado axioma

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Una ecuación diferencial de primer orden con el valor inicial se expresa de la siguiente forma:

[L]={dydt=f(t,y)y(t0)=y0

Donde y(t0)=y0 es la condición inicial.

Entre los tipos de EDO de primer orden se encuentran:6​

Ecuación de variables separables

Son EDO de la forma:

dydt=f(t,y)

Estas se pueden expresar en la forma:

 g(y)dy=h(t)dt

En donde se procede integrando ambos miembros de la ecuación

∫g(y)dy=∫h(t)dt

De la anterior es posible obtener la solución general. Se supondrá que las funciones g y h son continuas.

Ecuación exacta

Artículo principal: Ecuación diferencial exacta

Una ecuación de la forma:

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,

se dice exacta si existe una función F que cumpla:

∂F∂x(x,y)=M

y

∂F∂y(x,y)=N.

Su solución es entonces:

F(x,y)=C.

EDO de primer orden y homogénea

Artículo principal: Ecuación diferencial ordinaria de primer orden

La ecuación diferencial ordinaria de primer orden:

y′=f(x,y),con f(tx,ty)=tf(x,y),∀t≠0

Para resolver se usa la sustitución y=xv, siendo v= v(x) una función desconocida. Sin embargo, la palabra 'homogénea' asume otro significado, dentro del estudio de las EDO, fuera de este contexto.

Ecuación lineal

Artículo principal: Ecuación diferencial lineal

Una ecuación diferencial es lineal si presenta la forma:

y′+P(x)y=Q(x)

Y que tienen por solución:

y(x)=e−∫P(x)dx.(C+∫Q(x)e∫P(x)dxdx)

Como se puede apreciar, esta ecuación es una ecuación diferencial de Bernoulli, con n=0.

Ecuación de Bernoulli

Artículo principal: Ecuación diferencial de Bernoulli

Una ecuación diferencial de Bernoulli, que es a su vez una generalización de la ecuación diferencial lineal, fue formulada por Jakob Bernoulli y resuelta por su hermano, Johann Bernoulli y presenta la forma:

y′+P(x)y=Q(x)yn

En la cual, si se hace la sustitución z=y1−n, la ecuación se transforma en una ecuación lineal con z como variable dependiente, resolviéndose de manera análoga.

Ecuación de Riccati

Artículo principal: Ecuación de Riccati

Esta ecuación diferencial introducida por Jacopo Francesco Riccati presenta la estructura:

y′(x)+P(x)y2+Q(x)y+R(x)=0

Para resolverla, se debe hacer la sustitución y=yp+1z, donde yp es una solución particular cualquiera de la ecuación.

Ecuación de Lagrange

Una ecuación diferencial de Lagrange [cita requerida] presenta la forma:

y=g(y′)x+f(y′)

Resolviéndose con la sustitución y′=p, diferenciando y sustituyendo dy por pdx, se convierte a otra considerada en x como función de p, es lineal. Resolviendo está última x=s(p,C), se halla la solución general de la ecuación inicial en forma paramétrica:

1. x=s(p,C)
2. y=s(p,C)g(p)+f(p) donde p es un parámetro.

Además la ecuación de Lagrange puede tener soluciones singulares de la forma y=xg(c)+f(c), siendo c una raíz de la ecuación c=g(c).7​

Ecuación de Clairaut

Artículo principal: Ecuación diferencial de Clairaut

Una ecuación diferencial de Clairaut, llamada así en honor a Alexis-Claude Clairaut, tiene la forma:

y=xy′+f(y′)

Como se puede apreciar, esta ecuación es una forma particular de la ecuación diferencial de Lagrange, con g(y′)=y′, por lo cual, su resolución es análoga a la anterior.