Ecuaciones diferenciales

En matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente escrita con la sigla EDO) es la ecuación diferencial que relaciona una función desconocida de una variable independiente con sus derivadas. Es decir, una sola variable independiente (a diferencia de las ecuaciones diferenciales parciales que involucran derivadas parciales de varias variables), y una o más de sus derivadas respecto de tal variable. 

Sea y=f(x), tal que f:R→R, y(n) la n-ésima derivada de y, entonces una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de orden n tiene la siguiente forma:

F(x,y,y′, …y(n−1))=y(n)   (2)

Para funciones vectoriales,

y:R→Rm,

la ecuación (2) es llamada un sistema de ecuaciones lineales diferenciales de dimensión m.

Cuando una ecuación diferencial de orden n tiene la forma

F(x,y,y′,y″, …, y(n))=0

es llamada una ecuación diferencial implícita, mientras que en la forma

F(x,y,y′,y″,…,y(n−1))=y(n)

es llamada una ecuación diferencial explícita.

Una ecuación diferencial que no depende de x es denominada autónoma.

Se dice que una ecuación diferencial es lineal si F puede ser escrita como una combinación lineal de las derivadas de y

y(n)=∑i=0n−1ai(x)y(i)+r(x)

siendo, tanto ai(x)como r(x)funciones continuas de x. La función r(x) es llamada el término fuente (traducido del inglés source term); si r(x)=0 la ecuación diferencial lineal es llamada homogénea, de lo contrario es llamada no homogénea.

Soluciones
Dada una ecuación diferencial

F(x,y,y′,…,y(n))=0,

una función u: I ⊂ R → R es llamada la solución, y su gráfica se llama curva integral de F,3​ si u es n veces derivable en I, y

F(x,u,u′, …, u(n))=0x∈I.

Dadas dos soluciones u: J ⊂ R → R y v: I ⊂ R → R, u es llamada una extensión de v si I ⊂ J, y

u(x)=v(x)x∈I.

Una solución que no tiene extensión es llamada una solución general.[cita requerida]

Una solución general de una ecuación de orden n es una solución que contiene n variables arbitrarias, correspondientes a n constantes de integración. Una solución particular es derivada de la solución general mediante la fijación de valores particulares para las constantes, a menudo elegidas para cumplir condiciones iniciales. Una solución singular es la que no puede derivarse de la general.

Solución de una EDO de primer orden

Si se considera una ecuación diferencial de la forma:

y′=f(x,y)

una ecuación de primer orden resuelta con respecto a la derivada, se llama su solución general de la anterior ecuación diferencial, será una función del tipo:

y=φ(x,C)

que depende de una constante arbitraria C. Satisface ecuación diferencial para cualquier valor de la constante C. Además cualquiera que sea la condición inicial

y(x0)=y0

siempre se puede asignar un valor C0 a la constante C, tal que la función y = φ(x, C0) satisfaga la condición inicial dada. Se presume que el punto (x0, y0) está en un intervalo donde se cumplen las condiciones de existencia y de unicidad de la solución.4​ Las soluciones se pueden encontrar con auxilio de transformaciones idénticas y de cambios de variables.5​

Condiciones iniciales: Problema de Cauchy

En general si no se especifican ciertos valores iniciales o de contorno, que debe satisfacer la solución de una ecuación diferencial como (1) entonces no existirá una solución [particular] única, es decir, una única función que satisfaga la ecuación diferencial. Para una ecuación diferencial lineal de orden n por ejemplo se requieren n condiciones iniciales o de contorno, para que exista una única función que cumpla simultáneamente la ecuación diferencia y las condiciones de contorno. Si solo se especifican condiciones iniciales el problema de encontrar una función que satisfaga la ecuación diferencial y las condiciones iniciales se denomina problema de Cauchy. Si se especifican condiciones que no son solo condiciones de contorno pueden tenerse problemas diferentes como los problemas de Sturm-Liuville.

Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

 

Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden

Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior